Question

如圖，Rt△ABC中∠C=90°，AC=4，BC=3；半徑為1的⊙P的圓心P在AC邊上移動．
（1）當AP為多長時，⊙P與AB相切？（如有需要，可用圖1分析）
（2）如圖2，當⊙P運動到與邊BC相交時，記交點為E，連結PE，并作PD⊥AC交AB于點D，問：四邊形PDBE可能為平行四邊形嗎？若可能，求出此時AP的長；若不可能，說明理由．）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線的性質得出當PF=1時，⊙P與AB相切，利用相似三角形的判定與性質得出即可；
（2）根據平行四邊形的判定，得出當PE∥AB時，四邊形PDBE是平行四邊形，由PE∥AB得，△PCE∽△ACB，進而求出即可．
解答：解：（1）過P作PF⊥AB于點F．
由⊙P的半徑為1得，當PF=1時，⊙P與AB相切．
由∠A是公共角，∠PFA=∠C=90°，
得△APF∽△ABC，
∴，
其中，由AC=4、BC=3得AB=5
∴AP=；

（2）∵由PD⊥AC，∠C=90°，得PD∥BC，
∴當PE∥AB時，四邊形PDBE是平行四邊形．
由PE∥AB得，
△PCE∽△ACB，
∴
設AP=x，得PC=4-x
∴由PE=1，AB=5得，
解得x=，
因此，四邊形PDBE是平行四邊形，此時AP的長為．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及平行四邊形的判定與性質等知識，熟練利用平行四邊形的性質得出是解題關鍵．