Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB與x軸交于點A，與y軸交于點B，且OA=3，AB=5．點P從點O出發沿OA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AO返回；點Q從點A出發沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動．伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB-BO-OP于點E．點P、Q同時出發，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）在點P從O向A運動的過程中，求△APQ的面積S與t之間的函數關系式（不必寫出t的取值范圍）；
（3）在點E從B向O運動的過程中，完成下面問題：
①四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由；
②當DE經過點O時，請你直接寫出t的值．

Answer 1

分析：（1）首先由在Rt△AOB中，OA=3，AB=5，求得OB的值，然后利用待定系數法即可求得一次函數的解析式；
（2）過點Q作QF⊥AO于點F，由△AQF∽△ABO，根據相似三角形的對應邊成比例，借助于方程即可求得QF的長，然后即可求得△APQ的面積S與t之間的函數關系式；
（3）①分別從DE∥QB與PQ∥BO去分析，借助于相似三角形的性質，即可求得t的值；
②根據題意可知即OP=OQ時，則列方程即可求得t的值．

解答：解：（1）在Rt△AOB中，OA=3，AB=5，由勾股定理得OB=

AB2-OA2

=4．
∴A（3，0），B（0，4）．
設直線AB的解析式為y=kx+b．
∴

3k+b=0 b=4.

解得

k=- 4 3 b=4.

∴直線AB的解析式為y=-

4

3

x+4；

（2）如圖1，過點Q作QF⊥AO于點F．
∵AQ=OP=t，∴AP=3-t．
由△AQF∽△ABO，得

QF

BO

=

AQ

AB

．
∴

QF

4

=

t

5

．
∴QF=

4

5

t，
∴S=

1

2

（3-t）•

4

5

t，
∴S=-

2

5

t²+

6

5

t；

（3）四邊形QBED能成為直角梯形．
①如圖2，當DE∥QB時，
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形．
此時∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABO，得

AQ

AO

=

AP

AB

．
∴

t

3

=

3-t

5

．
解得t=

9

8

；
如圖3，當PQ∥BO時，
∵DE⊥PQ，
∴DE⊥BO，四邊形QBED是直角梯形．
此時∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABO，得

AQ

AB

=

AP

AO

．
即

t

5

=

3-t

3

．
3t=5（3-t），
3t=15-5t，
8t=15，
解得t=

15

8

；
（當P從A向0運動的過程中還有兩個，但不合題意舍去）

②當DE經過點O時，
∵DE垂直平分PQ，
∴EP=EQ=t，
由于P與Q相同的時間和速度，
∴AQ=EQ=EP=t，
∴∠AEQ=∠EAQ，
∵∠AEQ+∠BEQ=90°，∠EAQ+∠EBQ=90°，
∴∠BEQ=∠EBQ，
∴BQ=EQ，
∴EQ=AQ=BQ=

1

2

AB
 所以t=

5

2

，
當P從A向O運動時，
過點Q作QF⊥OB于F，
EP=6-t，
即EQ=EP=6-t，
AQ=t，BQ=5-t，
∴FQ=

3

5

（5-t）=3-

3

5

t，BF=

4

5

（5-t）=4-

4

5

t，
∴EF=4-BF=

4

5

t，
∵EF²+FQ²=EQ²，
即（3-

3

5

t）²+（

4

5

t）²=（6-t）²，
解得：t=

45

14

．
∴當DE經過點O時，t=

5

2

或

45

14

．

點評：此題考查了待定系數法求一次函數的解析式，相似三角形的判定與性質等知識的應用．此題綜合性較強，注意數形結合與方程思想的應用．