Question

已知AB是⊙O的直徑、弦CD⊥AB，垂足為E，弦AQ交CD于P，如果AB=10，CD=8，求：（1）DE的長；（2）AE的長；（3）AP•AQ的值．（要求：考生作圖求解，圖畫在卷面右側）

Answer 1

解：連接OD，BQ
∵CD⊥AB，垂足為E，AB=10
∴DE=CD=4，OD=OA=5
在Rt△ODE中，由勾股定理得，OE=3
∴AE=AO-OE=2
∵AB是⊙O的直徑
∴∠Q=∠AED=90°
又∵∠PAE=∠BAQ
∴△APE∽△ABQ
∴AP：AB=AE：AQ
即AP•AQ=AE•AB=2×10=20．
分析：連接OD，BQ，由垂徑定理知，DE=CD，由勾股定理可求得OE的值，進而求得AE的值，由于△APE∽△ABQ，可求得AP•AQ的值．
點評：本題利用了垂徑定理，勾股定理，直徑對的圓周角定理是直角，相似三角形的判定和性質求解．