Question

如圖，正方形ABCD中，E是AB中點，FC=3BF．
（1）求證：△BEF∽△ADE；
（2）再寫一對與△ADE相似的三角形，并證明．

Answer 1

分析：（1）由正方形ABCD中，E是AB中點，FC=3BF，可得∠A=∠B=90°，AD：BE=AE：BF=2，則可根據兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，證得：△BEF∽△ADE；
（2）由△BEF∽△ADE，易證得∠DEF=90°，AD：DE=AE：EF，則可根據兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，證得△ADE∽△EDF．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=BC=AD，
∵E是AB中點，FC=3BF，
∴AD：BE=AE：BF=2，
∴△BEF∽△ADE；

（2）△ADE∽△EDF．
證明：∵△BEF∽△ADE，
∴∠AED=∠BFE，AD：BE=DE：EF，
∵AE=BE，
∴AD：DE=AE：EF，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠AED+∠BEF=90°，
∴∠DEF=∠A=90°，
∴△ADE∽△EDF．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質與正方形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．