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已知:如圖,四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形,A是弧BD的中點,過A點的切線與CB的延長線交于點E.
(1)求證:AB•DA=CD•BE;
(2)若點E在CB延長線上運動,點A在弧BD上運動,使切線EA變為割線EFA,其它條件不精英家教網變,問具備什么條件使原結論成立?(要求畫出示意圖,注明條件,不要求證明)
分析:(1)點A是弧BD的中點,根據弦切角定理和圓周角定理知∠1=∠3,由圓內接四邊形的性質知∠ABE=∠D,于是有△ABE∽△CDA?
AB
CD
=
BE
DA
?AB•DA=CD•BE;
(2)要使結論仍然成立,則應有△ABE∽△CDA,故可使
BF
=
DA
.當
BF
=
DA
時有∠EAB=∠ACD,而由圓內接四邊形的性質知∠ABE=∠ADC,故有△ABE∽△CDA,得
AB
CD
=
BE
DA
?AB•DA=CD•BE
解答:精英家教網(1)證明:連接AC
∵A是
BD
的中點,
AB
=
AD

∵EA切⊙O于點A,點C在⊙O上,
∴∠1=∠3=∠2
∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形,
∴∠ABE=∠D
∴△ABE∽△CDA
AB
CD
=
BE
DA
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∴AB•DA=CD•BE.

(2)解:
如圖,具備條件
BF
=
DA
(BF=DA,或∠BCF=∠DCA,或∠BAF=∠DCA,或FA∥BD等),使原結論成立
點評:本題利用了弦切角定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質求解.
練習冊系列答案
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