Question

如圖，已知Rt△ABC，D₁是斜邊AB的中點，過D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，連接BE₁交CD₁于D₂；過D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，連接BE₂交CD₁于D₃；過D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此繼續，可以依次得到點E₄、E₅、…、E_n，分別記△BCE₁、△BCE₂、△BCE₃…△BCE_n的面積為S₁、S₂、S₃、…S_n．則S_n=    S_△ABC（用含n的代數式表示）．

Answer 1

【答案】分析：根據直角三角形的性質以及相似三角形的性質．再利用在△ACB中，D₂為其重心可得D₂E₁=BE₁，然后從中找出規律即可解答．
解答：解：易知D₁E₁∥BC，∴△BD₁E₁與△CD₁E₁同底同高，面積相等，以此類推；
根據直角三角形的性質以及相似三角形的性質可知：D₁E₁=BC，CE₁=AC，S₁=BC•CE₁=BC×AC=×AC•BC=S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂為其重心，
∴D₂E₁=BE₁，
∴D₂E₂=BC，CE₂=AC，S₂=××AC•BC=S_△ABC，
∴D₃E₃=BC，CE₂=AC，S₃=S_△ABC…；
∴S_n=S_△ABC．
故答案為：．
點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質和三角形的重心等知識點，解決本題的關鍵是據直角三角形的性質以及相似三角形的性質得到第一個三角形的面積與原三角形的面積的規律．