Question

如圖有一直角∠A。
（1）用尺規作圖作出∠A的角平分線，并在該角平分線上取一點C。（保留作圖痕跡，不寫作法，不證明。）
（2）用尺規作圖作出（1）中得到的線段AC的中垂線、分別交∠A的兩邊于點B和點D。（保留作圖痕跡，不寫作法，不證明。）
（3）連結CB，CD。以AC平分∠BAD、BD垂直平分線段AC，以及Rt∠A作為已知條件，試判斷四邊形ABCD是否為正方形，并證明你的結論。

Answer 1

（1）圖略； （2）圖略； （3）四邊形ABCD是正方形； 證明如下：如圖，      ∵BD垂直平分線段AC      ∴AD=CD，AB=CB 且BD⊥AC      ∴∠AOB=∠AOD=90。   又∵AC平分∠BAD      ∴∠BAO=∠DAO    又∵AO是公共邊     ∴△AOB≌△AOD     ∴AD=AB     ∴AD=CD=AB=CB     ∴四邊形ABCD是菱形。   又∵Rt∠A     ∴四邊形ABCD是正方形。