Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2，E為BC的中點，以OE為直徑的⊙O′交X軸于D點，過D點作DF⊥AE于F．
（1）求OA和OC的長；
（2）求證：OE=AE；
（3）求證：DF是⊙O′的切線；
（4）在邊BC上是否存在除E點以外的P點，使△AOP是等腰三角形？如果存在，請寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形面積公式得方程求解；
（2）由E是BC中點，OC=AB，∠C=∠B可證△ABE≌△OCE，則OE=AE得證；
（3）連接O′D，證∠O′DF=90°．
（4）分別以∠AOP、∠OAP為頂角討論P點位置求解．
解答：（1）解：設OC=x，則OA=x+2，根據題意得
x（x+2）=15．
解得x=3，即OC=3．則OA=5．

（2）證明：∵E為BC的中點，
∴CE=BE．
又OC=AB，∠OCE=∠B=90°，
∴△ABE≌△OCE，
∴OE=AE．

（3）證明：連接O′D．
∵OE=AE，O′O=O′D，
∴∠EOD=∠EAO=∠O′DO．
∵DF⊥AE，∴∠EAO+∠ADF=90°．
∴∠O′DO+∠ADF=90°．
∴∠O′DF=90°，DF是⊙O′的切線；

（4）解：存在．如圖所示．
①當AP=AO時，BP=4，則CP=1，所以P（1，3）；
②當OP=OA時，CP=4，所以P（4，3）．
點評：此題問題較多，涉及知識點較廣，綜合性較強，難度中上等．