Question

如圖∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分別是AB、BC的中點，則下列結論，①EF⊥BD，②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正確的是（ ）

A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．②③④

Answer 1

【答案】分析：根據三角形的中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊”同時利用三角形的全等性質求解．
解答：解：如下圖所示：連接AC，延長BD交AC于點M，延長AD交BC于Q，延長CD交AB于P．
∵∠ABC=∠C=45°∴CP⊥AB
∵∠ABC=∠A=45°∴AQ⊥BC
點D為兩條高的交點，所以BM為AC邊上的高，即：BM⊥AC．
由中位線定理可得EF∥AC，EF=AC∴BD⊥EF，故①正確．
∵∠DBQ+∠DCA=45°，∠DCA+∠CAQ=45°，
∴∠DBQ=∠CAQ，
∵∠A=∠ABC，∴AQ=BQ，
∵∠BQD=∠AQC=90°，
∴根據以上條件得△AQC≌△BQD，∴BD=AC∴EF=AC，故②正確．
∵∠A=∠ABC=∠C=45°
∴∠DAC+∠DCA=180°-（∠A+∠ABC+∠C）=45°
∴∠ADC=180°-（∠DAC+∠DCA）=135°=∠BEF+∠BFE=180°-∠ABC
故③∠ADC=∠BEF+∠BFE成立；
無法證明AD=CD，故④錯誤．
故選B．
點評：本題考點在于三角形的中位線和三角形全等的判斷及應用．