Question

【題目】材料一：我們可以將任意三位數記為，（其中、、分別表示該數的百位數字，十位數字和個位數字，且）.顯然.

材料二：若一個三位數的百位數字，十位數字和個位數字均不為，則稱之為“生數”，比如就是一個“生數”，將“生數”的三個數位上的數字交換順序，可產生出個新的“生數”，比如由可以產生出、、、、這個新“生數”，將這個數相加，得到的和稱為由“生數”生成的“完全數”

問題：（1）求證：任意一個“完全數”都可以整除；

（2）若一個四位正整數（，是整數）是由一個“生數”（，， 、是整數）產生的“完全數”，請求出這個“生數”.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）124，223，322，421.

【解析】

（1）先用字母寫出一個“生數”，再由此數寫出5個新的“生數”，然后求和，合并同類項即可；

（2）求出“生數”產生的6個新的“生數”的和＝，列式，利用整除的性質，求得以及的值，即可求解.

（1）設這個“生數”為，即為：，

5個新的“生數”為：；；；；；

生成的“完全數”為：

，

∴任意一個“完全數”都可以整除；

（2）∵“生數”為，

∴生成的“完全數”為：，

四位正整數，

根據題意：，

即：，

∵，是整數，，， 、是整數，

∴只有時，,

∴，；，；，；，；共4組.

這個“生數”是：124，223，322，421.