Question

某村為增加蔬菜的種植面積，一年中修建了一些蔬菜大棚．平均修建每公頃大棚要用的支架、塑料膜等材料的費用為27 000元，此外還要購置噴灌設備，這項費用（元）與大棚面積（公頃）的平方成正比，比例系數為9000．每公頃大棚的年平均經濟收益為75 000元，這個村一年中由于修建蔬菜大棚而增加的收益（扣除修建費用后）為60 000元．
（1）一年中這個村修建了多少公頃蔬菜大棚？
（2）若要使收益達到最大，請問應修建多少公頃大棚？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可設一年中這個村修建了x公頃蔬菜大棚，則材料的費用為27 000x元，噴灌設備的費用為9000x²元，經濟收益為75000x元，所以可列方程75000x-（27000x+9000x²）=60 000，解之即可；
（2）利用（1）的分析，可知設修建a公頃大棚的話，收益為75000a-（27 000a+9000a²），即收益是x的二次函數，利用二次函數的最值求法，即可求出答案．
解答：解：（1）設一年中這個村修建了x公頃蔬菜大棚，（1分）
則75 000x-（27 000x+9000x²）=60000（2分）
解得：x₁=2，x₂=（4分）
答：一年中這個村修建了2或公頃蔬菜大棚．（5分）

（2）設一年中這個村修建了a公頃蔬菜大棚，
則修建蔬菜大棚而增加的收益（扣除修建費用后）為：75 000a-（27 000a+9000a²）元．（6分）
∵75 000a-（27 000a+9000a²）=-9000（a-）²+64 000（8分）
∴當a=時，75 000a-（27 000a+9000a²）的值最大為64 000元（9分）
答：這個村一年中應修建公頃大棚，收益達到最大64 000元．（10分）
點評：本題重在考查仔細分析題意，利用函數即可解決問題．