Question

新鑫公司投資3000萬元購進一條生產線生產某產品，該產品的成本為每件40元，市場調查統計：年銷售量y（萬件）與銷售價格x（元）（40≤x≤80，且x為整數）之間的函數關系如圖所示．
（1）直接寫出y與x之間的函數關系式；
（2）如何確定售價才能使每年產品銷售的利潤W（萬元）最大？
（3）新鑫公司計劃五年收回投資，如何確定售價（假定每年收回投資一樣多）？

Answer 1

分析：（1）根據圖象可知分為40≤x≤60與60≤x≤80兩段，且都是一次函數，利用待定系數法即可求得解析式；
（2）分別從當40≤x≤60時與當60≤x≤80時去分析，注意當40≤x≤60時，W=（-2x+150）（x-40），當60≤x≤80時，W=（-x+90）（x-40），利用二次函數的知識求解即可；
（3）首先求得五年的投資，則分別從當40≤x≤60時與當60≤x≤80時去分析即可求得答案．

解答：解：（1）y=

-2x+150(40≤x≤60) -x+90(60≤x≤80)

（且x是整數）；

（2）當40≤x≤60時，W=（-2x+150）（x-40）=-2x²+230x-6000=-2（x-57.5）²+612.5．
∴x=57或58時，W_最大=612；
當60≤x≤80時，W=（-x+90）（x-40）=-x²+130x-3600=-（x-65）²+625．
x=65時，W_最大=625．
∴定價為65元時，利潤最大．

（3）3000÷5=600．
當40≤x≤60時，W=（-2x+150）（x-40）=-2（x-57.5）²+612.5=600，
解得x₁=55，x₂=60．
當60≤x≤80時，W=（-x+90）（x-40）=-（x-65）²+625=600，
解得x₁=70，x₂=60．
答：售價為55元，60元，70元都可在5年收回投資．

點評：此題考查了一次函數與二次函數的知識，注意待定系數法的應用．解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．