Question

如圖，在平面直角坐標系內，直線AB分別與x軸、y軸交于B、A兩點，且OB=2OA，S_△ABO=16．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若以OA為一邊作如圖所示的正方形AOCD，CD交AB于點P，問在x軸上是否存在一點Q，使以P、C、Q為頂點的三角形與△ADP相似？若存在，求點Q坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據三角形的面積求出OA，得出A、B的坐標，設直線AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐標代入求出即可；
（2）證△ADP≌△BCP，求出DP=CP=2，根據相似三角形的判定定理（有兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似）得出兩個比例式，代入求出即可．
解答：解：（1）∵OB=2OA，S_△ABO=16，
∴OA×OB=16，
∴×OA×2OA=16，
∴OA=4，OB=8，
即A（0，4）B（-8，0），
設直線AB的解析式是y=kx+b，
代入得：，
解得：k=，
故直線AB的解析式是y=x+4；

（2）在x軸上存在一點Q，使以P、C、Q為頂點的三角形與△ADP相似，
理由是：∵四邊形ADCO是正方形，A（0，4），
∴∠D=∠DC0=90°=∠PCB，AD∥OC，AD=OC=DC=OA=4，
∴BC=4=AD，
∵AD∥OC，
∴∠DAP=∠CBP，
在△ADP和△BCP中，
∵，
∴△ADP≌△BCP（ASA），
∴DP=CP=2，
∵Q在x軸上，
∴以P、C、Q為頂點的三角形與△ADP相似，
首先有∠ADP=∠PDQ=90°，
故只有當具備條件=或=時，兩三角形就相似，
即=或=，
解得：CQ=1或CQ=4，
即符合條件的點有4個：當CQ=1時，點Q的坐標是（-3，0）或（-1，0）；
當CQ=4時，點Q的坐標是（-6，0）或（2，0）．
點評：本題考查了一次函數的應用，相似三角形的性質和判定，用待定系數法求出一次函數的解析式，三角形的面積等知識點的綜合運用，題目綜合性比較強，有一定的難度，注意：要進行分類討論．