Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連結BE．
（1）求證：BE與⊙O相切；
（2）連結AD并延長交BE于點F，若△ABF的面積為，sin∠ABC=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，由EC為圓O的切線，利用切線的性質得到OC垂直于CE，得到一對角互余，由OB=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，由OD垂直于BC，利用垂徑定理得到CD=BD，利用SAS得到三角形EDC與三角形EDB全等，由全等三角形的對應角相等得到∠DCE=∠DBE，等量代換并利用垂直的定義得到OB垂直于BE，即可得證；
（2）連接AD并延長，與EB交于F，過D作DG垂直于AB，由OD垂直于DB，利用同角的余角相等得到∠ABC=∠ODG，即sin∠ABC=sin∠ODG，設OB=r，利用銳角三角函數定義表示出OD與OG，利用勾股定理表示出DG，由AO+OG表示出AG，由三角形ADG與三角形AFB相似，由相似得比例，表示出FB，由AB與BF乘積的一半表示出三角形ABF的面積，由已知的面積求出r的值，即為圓的半徑．
解答：（1）證明：連接OC，則OC⊥CE，即∠DCO+∠DCE=90°，
∵OB=OC，
∴∠DCO=∠DBO，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
∵在△CDE和△BDE中，

∴△CDE≌△BDE（SAS），
∴∠DCE=∠DBE，
∴∠DBO+∠DBE=90°，即BE與圓O相切；

（2）解：過D作DG⊥AB，可得∠DGB=90°，即∠GDB+∠ABC=90°，
∵∠ODB=90°，
∴∠ODG+∠GDB=90°，
∴∠ABC=∠ODG，
∵∠DGA=∠FBA=90°，
∴DG∥FB，
∴△ADG∽△ABF，
設OB=r，
∵sin∠ABC=sin∠ODG=，
∴OD=OBsin∠ABC=r，OG=ODsin∠ODG=r，
在Rt△OGD中，由勾股定理得：DG=r，
又AG=AO+OG=r+r=r，△ADG∽△ABF，
∴=，即=，
∴BF=r，
∵S_△ABF=AB•BF=r²=，解得：r=3，
∴圓O的半徑為3．
點評：此題考查了切線的判定與性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，銳角三角函數定義，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．