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如圖,矩形ABCD中,AB=6m,AD=4m.
(1)如圖(1),矩形AEFN的頂點E,N分別在邊AB和AD上,點F在矩形ABCD的內部,以點A為位似中心,作矩形AEFN的位似矩形AMPQ,且使得矩形的頂點P恰好落在對角線BD上;(不要求寫作法)
(2)若AM=4m,求矩形AMPQ的面積;
(3)如圖(2),在一個矩形空地ABCD上,王師傅準備修建一個矩形的花壇AMPQ,要求點M在AB上,點Q在AD上,設AM的長為xm,矩形AMPQ的面積為Sm2,求當x為何值時,S有最大值?并求出最大值.

【答案】分析:(1)根據位似圖形的定義,連接AF并延長與BD相交于P,過P作PM∥AD交AB于M,作PQ∥AB交AD于Q,四邊形AMPQ即為矩形AEFN的位似圖形;
(2)先求出MB,然后根據△ABD和△MBP相似,利用相似三角形對應邊成比例列出比例式求出PM,再根據矩形的面積公式列式計算即可得解;
(3)用x表示出MB=6-x,然后根據△ABD和△MBP相似,再利用相似三角形對應邊成比例列出比例式求出PM,再根據矩形的面積公式列式整理,然后根據二次函數的最值問題解答.
解答:解:(1)矩形AEFN的位似矩形AMPQ如圖所示;

(2)∵AB=6m,AM=4m,
∴MB=AB-AM=6-4=2m,
∵PM∥AD,
∴△ABD∽△MBP,
=
=
解得PM=m,
∴矩形AMPQ的面積=AM•PM=4×=m2

(3)AM=xm時,MB=AB-AM=6-x,
∵PM∥AD,
∴△ABD∽△MBP,
=
=
解得PM=(6-x),
∴矩形AMPQ的面積為S=AM•PM=x•(6-x)=-(x2-6x+9)+6=-(x-3)2+6,
即S=-(x-3)2+6,
所以,當x=3m時,S有最大值為6m2
點評:本題是四邊形綜合題型,主要考查了位似圖形的畫法,相似三角形的判定與性質,二次函數的最值問題,難度不大,利用相似三角形對應邊成比例列出比例式表示出PM是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,M是BC的中點,DE⊥AM,E是垂足,則△ABM的面積為
 
;△ADE的面積為
 

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精英家教網如圖,矩形ABCD中,AD=a,AB=b,要使BC邊上至少存在一點P,使△ABP、△APD、△CDP兩兩相似,則a、b間的關系式一定滿足(  )
A、a≥
1
2
b
B、a≥b
C、a≥
3
2
b
D、a≥2b

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7、如圖,矩形ABCD中,AE⊥BD,垂足為E,∠DAE=2∠BAE,則∠CAE=
30
°.

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(2008•懷柔區二模)已知如圖,矩形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,E是邊AD上一點,且BE=ED,P是對角線上任意一點,PF⊥BE,PG⊥AD,垂足分別為F、G.則PF+PG的長為
3
3
cm.

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(2002•西藏)已知:如圖,矩形ABCD中,E、F是AB邊上兩點,且AF=BE,連結DE、CF得到梯形EFCD.
求證:梯形EFCD是等腰梯形.

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同步練習冊答案
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