Question

若關于x的方程（x-2）（x²-4x+m）=0有三個根，且這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，則m的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據原方程可知x-2=0，和x²-4x+m=0，因為關于x的方程（x-2）（x²-4x+m）=0有三個根，所以x²-4x+m=0的根的判別式△＞0，然后再由三角形的三邊關系來確定m的取值范圍．
解答：解：∵關于x的方程（x-2）（x²-4x+m）=0有三個根，
∴①x-2=0，解得x₁=2；
②x²-4x+m=0，
∴△=16-4m≥0，即m≤4，
∴x₂=2+，
x₃=2-，
又∵這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，
且最長邊為x₂，
∴x₁+x₃＞x₂；    
解得3＜m≤4，
∴m的取值范圍是3＜m≤4．
故答案為：3＜m≤4．
點評：本題主要考查了根與系數的關系、根的判別式及三角形的三邊關系．解答此題時，需注意，三角形任意兩邊和大于第三邊．