Question

【題目】如圖，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s．

（1）連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數；

（2）請求出何時△PBQ是直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）不變，∠CMQ=60°；（2）當第秒或第秒時，△PBQ為直角三角形．

【解析】

試題分析：（1）先根據全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CAP，由全等三角形的性質可知∠BAQ=∠ACP，故∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°，故可得出結論；

（2）設時間為t秒，則AP=BQ=tcm，PB=（4﹣t）cm，當∠PQB=90°時，因為∠B=60°，所以PB=2BQ，即4﹣t=2t故可得出t的值，當∠BPQ=90°時，同理可得BQ=2BP，即t=2（4﹣t），由此兩種情況即可得出結論．

解：（1）不變，∠CMQ=60°．

∵△ABC是等邊三角形，

∴等邊三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°

又∵點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s．

∴AP=BQ，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；

（2）設時間為t秒，則AP=BQ=tcm，PB=（4﹣t）cm，

當∠PQB=90°時，

∵∠B=60°，

∴PB=2BQ，即4﹣t=2t，t=，

當∠BPQ=90°時，

∵∠B=60°，

∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t=，

∴當第秒或第秒時，△PBQ為直角三角形．