Question

在△ABC中，∠ACB=90°，以AC為一邊向外作正方形ACDE（如圖1），線段BA繞點A順時針旋轉90°，得線段AP，連接PE、CE．

（1）①請補全圖形；
②當tan∠BAC=2時，探究線段PE與CE的關系，并加以證明；
（2）當tan∠BAC=n時（如圖2），請直接寫出PE：CE的值．（用含有n的式子表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）①根據題意畫出圖形即可；
②過點P作PF⊥EA的延長線于點F，由全等三角形的判定定理可得出Rt△APF≌Rt△ABC，設AC=x，由tan∠BAC=2，可知BC=2x，在Rt△ACE中，利用勾股定理可求出CE的長，在Rt△PEF中由勾股定理得出PE的長，再求出其比值即可；
（2）同（1）可得Rt△APE≌Rt△ABC，AF=AC，PF=BC，tan∠BAC=n，設AC=x，則BC=nx，同上可得出CE及PE的長，故可得出結論．
解答：（1）解：①如圖1所示：
②PE=2CE．
證明：如圖2所示，過點P作PF⊥EA的延長線于點F，
∵四邊形ACDE是正方形，
∴∠2+∠FAB=90°，
∵線段AP是由線段AB繞點A順時針旋轉90°得到，
∴∠1+∠FAB=90°，AP=AB，
∴∠1=∠2，
∵PF⊥AF，
∴∠ACB=∠PFA=90°，
∴∠APF=∠ABC，
在Rt△APF與Rt△ABC中，
∵，
∴Rt△APF≌Rt△ABC，
∴AF=AC，PF=BC，
設AC=x，
∵tan∠BAC=2，
∴BC=2x，
在Rt△ACE中，
CE===x，
在Rt△PEF中，
∵AF=AE=x，PF=BC=2x，
∴EF=2x，
∴PE===2x，
∴==2，即PE=2CE；

（2）==．
證明：同（1）可得Rt△APF≌Rt△ABC，AF=AC，PF=BC，
∵tan∠BAC=n，
∴設AC=x，則BC=nx，
在Rt△ACE中，
CE===x，
在Rt△PEF中，
∵AF=AE=x，PF=BC=nx，
∴EF=2x，
∴PE===x，
∴==．
點評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到全等三角形的判定與性質及圖形旋轉的性質，根據題意畫出圖形，能利用數形結合求解是解答此題的關鍵．