Question

如圖，在□ABCD中，∠ABD的平分線BE交AD于點E，∠CDB的平分線DF交BC于點F，連接BD．

（1）求證：△ABE≌△CDF；

（2）若AB＝DB，求證：四邊形DFBE是矩形．

 

Answer 1

【答案】

（1）根據平行四邊形的性質可得AB=CD，∠A=∠C，CD∥AB，即得∠CDB=∠DBA，根據角平分線的性質可得∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠CDF=∠BDF=∠CDB，即可證得結論；

（2）先根據等腰三角形三線合一的性質證得BE⊥AD，由△ABE≌△CDF可得AE=CF，再結合平行四邊形的性質可得DE=BF，從而證得結論.

【解析】

試題分析：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C

∵CD∥AB

∴∠CDB=∠DBA

∵BE平分∠ABD

∴∠ABE=∠EBD=∠ABD

同理∠CDF=∠BDF=∠CDB

∴∠ABE=∠CDF

∴△ABE≌△CDF；

（2）∵AB=DB，BE平分∠ABD

∴BE⊥AD

∴∠BED=90°

∵△ABE≌△CDF

∴AE="CF"

在□ABCD中，AD=BC，

∴AD-AE=BC-CF

∴DE=BF，AD∥BC

∴四邊形DFBE是矩形．

考點：平行四邊形的性質，角平分線的性質，矩形的判定

點評：平行四邊形的判定和性質是初中數學的重點，貫穿于整個初中數學的學習，是中考常見題，一般難度不大，需熟練掌握.