Question

如圖直角坐標系中，已知A（-4，0），B（0，3），點M在線段AB上．
（1）如圖1，如果點M是線段AB的中點，且⊙M的半徑為2，試判斷直線OB與⊙M的位置關系，并說明理由；
（2）如圖2，⊙M與x軸、y軸都相切，切點分別是點E、F，試求出點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）設線段OB的中點為D，證明MD=2，且MD⊥OB即可；
（2）先利用待定系數法求得直線AB的解析式：y=

3

4

x+3，根據切線的性質得到點M到x軸、y軸的距離都相等，設M（a，-a）（-4＜a＜0）．代入y=

3

4

x+3，即可求得a的值，即得到M的坐標．

解答：解：（1）直線OB與⊙M相切．
理由：設線段OB的中點為D，連接MD．
因為點M是線段AB的中點，
所以MD∥AO，MD=2．
所以MD⊥OB，點D在⊙M上．
又因為點D在直線OB上，
所以直線OB與⊙M相切；

（2）解法一：可求得過點A、B的
一次函數關系式是y=

3

4

x+3，
因為⊙M與x軸、y軸都相切，
所以點M到x軸、y軸的距離都相等．
設M（a，-a）（-4＜a＜0）．
把x=a，y=-a代入y=

3

4

x+3，
得-a=

3

4

a+3，得a=-

12

7

．
所以點M的坐標為（-

12

7

，

12

7

）．
解法二：連接ME、MF．
設ME=x（x＞0），則OE=MF=x，
因為一次函數關系式是y=

3

4

x+3，
所以AE=

4

3

x，所以AO=

7

3

x．
因為AO=4，所以，

7

3

x=4．
解得x=

12

7

．
所以點M的坐標為（-

12

7

，

12

7

）．

點評：本題考查了利用待定系數法求直線的解析式的方法以及一次函數的性質．也考查了圓的切線的判定與性質．