Question

已知：△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠B=90°，AB=BC=1．
（1）要在這張紙板上剪出一個正方形，使這個正方形的四個頂點都在△ABC的邊上．小林設計出了一種剪法，如圖1所示．請你再設計出一種不同于圖1的剪法，并在圖2中畫出來．
（2）若按照小林設計的圖1所示的剪法來進行裁剪，記圖1為第一次裁剪，得到1個正方形，將它的面積記為S₁，則S₁=

1

4

；在余下的2個三角形中還按照小林設計的剪法進行第二次裁剪（如圖3），得到2個新的正方形，將此次所得2個正方形的面積的和記為S₂，則S₂=

1

8

；在余下的4個三角形中再按照小林設計的剪法進行第三次裁剪（如圖4），得到4個新的正方形，將此次所得4個正方形的面積的和記為S₃；按照同樣的方法繼續操作下去…，第n次裁剪得到

2^n-1

個新的正方形，它們的面積的和S_n=

1

2n+1

．

Answer 1

分析：（1）利用斜邊長的

1

3

，向斜邊作垂線得出正方形即可；
（2）根據題意，可求得S₁，S₂，S₃，同理可得規律：S_n即是第n次剪取后面積和，根據此規律求解即可答案．

解答：解：（1）如圖所示；

（2）∵四邊形DBFE是正方形，
∴DE=EF=BF=DE，∠EFC=∠ADE=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠C=45°，
∴AD=DE=EF=CF=BF=BD=EF，
∵AB=BC=1，
∴DE=EF=

1

2

，
∴S_{正方形DBFE}=S₁=

1

2

×

1

2

=

1

4

；
同理：S₂即是第二次剪取后的面積和，
S_n即是第n次剪取后的面積和，
∴第一次剪取后的面積和為：S₁=

1

22

=

1

4

，
第二次剪取后的面積和為：S₂=

1

4

×

1

4

×2=

1

23

=

1

8

，
第三次剪取后剩余三角形面積和為：S₃=

1

8

×

1

8

×4=

1

24

=

1

16

，
…
第n次剪取后面積和為：S_n=

1

2n

×

1

2n

×2^n-1=

1

2n+1

．
故答案為：

1

4

，

1

8

，2^n-1，

1

2n+1

．

點評：此題主要考查了圖形的剪拼和正方形的性質以及圖形變化規律等知識，注意得出圖形變化規律是解題關鍵．