Question

如圖，在⊙O中AB是直徑，D是上半圓中點，E是下半圓中點．點C是圓上一點（不與B、E重合）連接AD、BD、AC、BC．設BC長度為n，AC長度為m．
（1）當m=8，n=6時，求四邊形ACBD的面積S；
（2）用含m、n的式子表示四邊形ACBD的面積S；
（3）你可知道tan∠DAC=嗎？請你詳細說明理由；
（4）如圖，當點C運動至弧AD或弧BD上時，（3）中結論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，請用含m、n的式子表示tan∠DAC．（直接寫答案）

Answer 1

解：（1）49；

（2）S=；

（3）解：①②如圖：
延長CB，過D點作DN垂直CB延長線于N，過D點作DM⊥MC于M．
∵∠DMC=∠ACB=∠N=90°
∴四邊形DMCN為矩形
∴MDN=90°又∠ADB=90°
∴∠1=∠2
∵
∴△AMD≌△DNB
∴AM=BN，DM=DN
∴矩形DMCN為正方形
∴AC+BC=MC+NC
∴DM=MC=CN=
∴S_{正方形DMCN}=MC²=S=
∴AM=AC-MC=m-=
∴tan∠DAC=；

4）Ⅰ、當點C運動至時tan∠DAC=；
Ⅱ、當點C運動至時tan∠DAC=．
可通過做C點關于O點的對稱點進行轉換（提示：tan∠CAD=tan∠ADM）再參照第②題的做法進行解答（輔助線如圖，證明過程略）亦可連接AC、BD交于一點，或以CD為對角線構造正方形進行證明，請同學們自己思考．
分析：（1）過D作DM⊥AC于M，作DN⊥BC于N；由于D是弧AB的中點，則AD=BD，可通過證△AMD≌△BDN來得出四邊形DMCN是正方形的結論，從而可將四邊形ACBD轉化為正方形DMCN的面積；
（2）同（1）；
（3）由（1）知：DM=MC=（m+n），即可表示出AM的長，進而可在Rt△AMD中，求出tan∠DAC的表達式，進而可驗證所給出的結論是否正確；
（4）本題可通過作C點關于O點的對稱點進行轉換，參照上面的解題思路，作出對應的正方形，此時AC∥CN∥DM，那么∠CAD=∠ADM，此時發現本題與（3）題完全相同，所以結論和證法也相同．
點評：此題考查了圓周角定理、正方形和矩形的性質、全等三角形的判定和性質等知識的綜合應用能力，能夠發現四邊形ACBD與正方形的面積關系是解答此題的關鍵．