Question

【題目】如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=6，AD=4，DC=3，動點P從點A出發，沿A→D→C→B方向移動，動點Q從點A出發，在AB邊上移動．設點P移動的路程為x，點Q移動的路程為y，線段PQ平分梯形ABCD的周長．

（1）求y與x的函數關系式，并求出x，y的取值范圍；
（2）當PQ∥AC時，求x，y的值；
（3）當P不在BC邊上時，線段PQ能否平分梯形ABCD的面積？若能，求出此時x的值；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過C作CE⊥AB于E，則CD=AE=3，CE=4，可得BC=5，

所以梯形ABCD的周長為6+3+4+5=18，

∵PQ平分ABCD的周長，

∴x+y=9，

∵0≤y≤6，

∴3≤x≤9，

故所求關系式為：y=﹣x+9，3≤x≤9；

（2）

解：依題意，P只能在BC邊上，7≤x≤9．

PB=12﹣x，BQ=6﹣y，

因為PQ∥AC，所以△BPQ∽△BCA，所以 ，

得： ，

即6x﹣5y=42，

解方程組

得 ；

（3）

解：梯形ABCD的面積為18，

當P不在BC邊上，則3≤x≤7，

a）當3≤x＜4時，P在AD邊上，S△APQ= xy，

如果線段PQ能平分梯形ABCD的面積，則有 ，

可得： ，

解得 ， （舍去），

b）當4≤x≤7時，點P在DC邊上，此時SADPQ= ×4（x﹣4+y），

如果線段PQ能平分梯形ABCD的面積，則有 ×4（x﹣4+y）=9，

可得 此方程組無解．

所以當x=3時，線段PQ能平分梯形ABCD的面積．

【解析】（1）過C作CE⊥AB于E，由勾股定理求得BC的值，進而得到梯形的周長為18，由題意知，y=﹣x+9，由于點Q只在AB上，于是能確定出x的取值范圍；（2）∵PQ∥AC，∴△BPQ∽△BCA，有 ，得6x﹣5y=42，與y=﹣x+9組成方程組求解即可；（3）通過討論點P的位置，建立關于x，y的方程組求得x的值．
【考點精析】利用解二元一次方程組和函數關系式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二元一次方程組：①代入消元法；②加減消元法；用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式．