Question

如圖，在平面直角坐標系中，一底角為60°的等腰梯形ABCD的下底AB在x軸的正半軸上，A為坐標原點，點B的坐標為（m，0），對角線BD平分∠ABC，一動點P在BD上以每秒一個單位長度的速度由B→D運動（點P不與B，D重合）．過P作PE⊥BD交AB于點E，交線段BC（或CD）于點F．
（1）用含m的代數式表示線段AD的長是______；
（2）當直線PE經過點C時，它的解析式為y=x-2，求m的值；
（3）在上述結論下，設動點P運動了t秒時，△AEF的面積為S，求S與t的函數關系式；并寫出t為何值時，S取得最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據條件可以證明∠ADB=90°，而∠ABD=30°，則AD=AB．
（2）當直線PE過點C時，易證△CEB為等邊三角形，因而C的坐標可以用m表示出來，把C的坐標代入函數y=x-2就可以求出m的值．
（3）本題應分點F在線段BC上和點F在線段DC上兩種情況進行討論．當點F在線段BC上，△FEB為等邊三角形；而點F在線段DC上時，△FEB的面積S=AE•FG．而AE、FG可以用t表示出來．因而就可以得到函數解析式．則求面積的最值的問題就可以轉化為求函數的最值問題．
解答：解：（1）．（3分）

（2）如圖①，當直線PE過點C時，解析式為：y=x-2，
令y=0，得0=x-2．
解得x=2．
∴點E（2，0）．（5分）
∵∠DAB=∠ABC=60°，BD平分∠ABC．
∴∠ADB=180°-60°-30°=90°，
∵EP⊥BD，
∴EP∥AD．
∴∠CEB=∠DAB=∠ABC=60度．
∴△CEB為等邊三角形．
∴EB=BC=AD=m．
∵AB=m，
∴AE=m=2，
∴m=4．（7分）

（3）由m=4，可知B（4，0），D（1，），C（3，），
在Rt△BPE中，=t．
∴AE=4-t．（8分）
過F作FG⊥AB于點G．
下面分兩種情況：
①點F在線段BC上，如圖②．
∵△FEB為等邊三角形，
∴FG=BP=t．
∴S=AE•FG=（4-t）•t=-+2t=-（t-）²+（0＜t≤）．（10分）
②點F在線段DC上，如圖③，則．
∴S=AE•FG=•（4-t）•=-t+（＜t≤2）（11分）
綜合①，②得：當t=時，S_最大=．（12分）
點評：本題主要是函數與梯形的性質相結合的問題．難度比較大．