Question

已知P（﹣3，m）和Q（1，m）是拋物線y=2x²+bx+1上的兩點．
（1）求b的值;
（2）判斷關于x的一元二次方程2x²+bx+1=0是否有實數根，若有，求出它的實數根；若沒有，請說明理由;
（3）將拋物線y=2x²+bx+1的圖象向上平移k（k是正整數）個單位，使平移后的圖象與x軸無交點，求k的最小值．

Answer 1

（1）b=4 （2）x===﹣1± （3）k的最小值為2

（1）∵點P、Q在拋物線上且縱坐標相同，
∴P、Q關于拋物線對稱軸對稱并且到對稱軸距離相等．
∴拋物線對稱軸，
∴b=4．
（2）由（1）可知，關于x的一元二次方程為2x²+4x+1=0．
∵△=b²﹣4ac=16﹣8=8＞0，
∴方程有實根，
∴x===﹣1±；
（3）由題意將拋物線y=2x²+bx+1的圖象向上平移k（k 是正整數）個單位，使平移后的圖象與x軸無交點，
∴設為y=2x²+4x+1+k，∴方程2x²+4x+1+k=0沒根，
∴△＜0，
∴16﹣8（1+k）＜0，
∴k＞1，
∵k是正整數，
∴k的最小值為2．