Question

如圖，△ABC中，AC＞AB，D是BA延長線上一點，點E是∠CAD平分線上一點，EB=EC過點E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．
（1）請你在不添加輔助線的情況下找出一對你認為全等的三角形，并加以證明；
（2）若AB=3，AC=5，求AF的長．

Answer 1

分析：已知AE平分∠CAD，EF⊥AC，EG⊥AD及公共邊AE，則利用AAS判定△EGA≌△EFA；由△EGA≌△EFA可得到EG=EF，AG=AF，根據HL可判定Rt△EGB≌Rt△EFC，從而得到BG=CF，整理可得到2AF=AC-AB，從而可求得AF的長．

解答：解：（1）△EGA≌△EFA（或△EGB≌△EFC）．
證明：∵AE平分∠CAD，
∴∠EAG=∠EAF．
又∵EF⊥AC，EG⊥AD，
∴∠EGA=∠EFA=90°．
在△AEG和△EFA中：
∠EAG=∠EAF，∠EGA=∠EFA，AE=AE，
∴△EGA≌△EFA（AAS）．

證明：（2）∵AE平分∠CAD且EF⊥AC，EG⊥AD，
∴EG=EF，∠EGB=∠EFC=90°．
在Rt△EGB和Rt△EFC中

EG=EF EB=EC

．
∴Rt△EGB≌Rt△EFC（HL）．
∴BG=CF．（10分）
又∵BG=AB+AG，CF=AC-AF，
即AB+AG=AC-AF，
又∵△EGA≌△EFA，
∴AG=AF．
∴2AF=AC-AB=5-3=2．
∴AF=1．

點評：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．