Question

如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AD交AB于點E，M為AE的中點，BF⊥BC交CM的延長線于點F，BD=2，CD=1．下列結論：
①∠AED=∠ADC；②=；③AC•BE=2；④BF=2AC；⑤BE=DE
其中結論正確的個數有（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：①∠AED=90°-∠EAD，∠ADC=90°-∠DAC，∠EAD=∠DAC；
②易證△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=1：AC，AC不一定等于2；
③當FC⊥AB時成立；
④連接DM，可證DM∥BF∥AC，得FM：MC=BD：DC=4：3；易證△FMB∽△CMA，得比例線段求解；
⑤BE=DE成立．由④可知BM：MA=BF：AC=2：1，而BD：DC=2：1，可知DM∥AC，DM⊥BC，利用直角三角形斜邊上的中線的性質判斷．
解答：解：①∠AED=90°-∠EAD，∠ADC=90°-∠DAC，
∵∠EAD=∠DAC，
∴∠AED=∠ADC．
故本選項正確；
②∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，
∴△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：AC，但AC的值未知，
故不一定正確；
③由①知∠AED=∠ADC，
∴∠BED=∠BDA，
又∵∠DBE=∠ABD，
∴△BED∽△BDA，
∴DE：DA=BE：BD，由②知DE：DA=DC：AC，
∴BE：BD=DC：AC，
∴AC•BE=BD•DC=2．
故本選項正確；
④連接DM．
在Rt△ADE中，MD為斜邊AE的中線，則DM=MA．
∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，
∴DM∥BF∥AC，
由DM∥BF得FM：MC=BD：DC=2：1；
由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC=FM：MC=2：1，
∴BF=2AC．
故本選項正確
⑤由④可知BM：MA=BF：AC=2：1，
∵BD：DC=2：1，∴DM∥AC，DM⊥BC，
∴∠MDA=∠DAC=∠DAM，而∠ADE=90°，
∴DM=MA=ME，在Rt△BDM中，由BM=2AM可知BE=EM，
∴ED=BE．故⑤正確．
綜上所述，①③④⑤正確，共有4個．
故選D．
點評：此題重點考查相似三角形的判定和性質，綜合性強，有一定難度．