Question

拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，已知拋物線的對稱軸為x=1，B（3，0），C（0，-3），
（1）求二次函數y=ax²+bx+c的解析式；
（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使點P到B、C兩點距離之差最大？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由；
（3）平行于x軸的一條直線交拋物線于M、N兩點，若以MN為直徑的圓恰好與x軸相切，求此圓的半徑．

Answer 1

解：（1）將C（0，-3）代入y=ax²+bx+c，
得c=-3．
將c=-3，B（3，0）代入y=ax²+bx+c，
得9a+3b+c=0．（1）
∵直線x=1是對稱軸，
∴．（2）
將（2）代入（1）得
a=1，b=-2．
所以，二次函數得解析式是y=x²-2x-3．

（2）AC與對稱軸的交點P即為到B、C的距離之差最大的點．
∵C點的坐標為（0，-3），A點的坐標為（-1，0），
∴直線AC的解析式是y=-3x-3，
又∵直線x=1是對稱軸，
∴點P的坐標（1，-6）．

（3）設M（x₁，y）、N（x₂，y），所求圓的半徑為r，
則x₂-x₁=2r，（1）
∵對稱軸為直線x=1，即=1，
∴x₂+x₁=2．（2）
由（1）、（2）得：x₂=r+1．（3）
將N（r+1，y）代入解析式y=x²-2x-3，
得y=（r+1）²-2（r+1）-3．
整理得：y=r²-4．
由所求圓與x軸相切，得到r=|y|，即r=±y，
當y＞0時，r²-r-4=0，
解得，，（舍去），
當y＜0時，r²+r-4=0，
解得，，（舍去）．
所以圓的半徑是或．
分析：（1）根據拋物線過C點，可得出c=-3，對稱軸x=1，則-=1，然后可將B點坐標代入拋物線的解析式中，聯立由對稱軸得出的關系式即可求出拋物線的解析式．
（2）本題的關鍵是要確定P點的位置，由于A、B關于拋物線的對稱軸對稱，因此可連接AC，那么P點就是直線AC與對稱軸的交點．可根據A、C的坐標求出AC所在直線的解析式，進而可根據拋物線對稱軸的解析式求出P點的坐標．
（3）根據圓和拋物線的對稱性可知：圓心必在對稱軸上．因此可用半徑r表示出M、N的坐標，然后代入拋物線中即可求出r的值．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、切線的性質、軸對稱圖形等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．