Question

已知四邊形ABCD是正方形，O為正方形對角線的交點，一動點P從B開始，沿射線BC運動，連接DP，作CN⊥DP于點M，且交直線AB于點N，連接OP，ON．（當P在線段BC上時，如圖1：當P在BC的延長線上時，如圖2）
（1）請從圖1，圖2中任選一圖證明下面結論：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；
（2）設AB=4，BP=x，試確定以O、P、B、N為頂點的四邊形的面積y與x的函數關系．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正方形的性質得出DC=BC，∠DCB=∠CBN=90°，求出∠CPD=∠DCN=∠CNB，證△DCP≌△CBN，求出CP=BN，證△OBN≌△OCP，推出ON=OP，∠BON=∠COP，求出∠PON=∠COB即可；
（2）同法可證圖2時，OP=ON，OP⊥ON，圖1中，S_{四邊形OPBN}=S_△OBN+S_△BOP，代入求出即可；圖2中，S_{四邊形OBNP}=S_△POB+S_△PBN，代入求出即可．
解答：（1）證明：如圖1，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴OC=OB，DC=BC，∠DCB=∠CBA=90°，∠OCB=∠OBA=45°，∠DOC=90°，DC∥AB，
∵DP⊥CN，
∴∠CMD=∠DOC=90°，
∴∠BCN+∠CPD=90°，∠PCN+∠DCN=90°，
∴∠CPD=∠CNB，
∵DC∥AB，
∴∠DCN=∠CNB=∠CPD，
∵在△DCP和△CBN中
，
∴△DCP≌△CBN（AAS），
∴CP=BN，
∵在△OBN和△OCP中
，
∴△OBN≌△OCP（SAS），
∴ON=OP，∠BON=∠COP，
∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP，
即∠NOP=∠BOC=90°，
∴ON⊥OP，
即ON=OP，ON⊥OP．

（2）解：∵AB=4，四邊形ABCD是正方形，
∴O到BC邊的距離是2，
圖1中，S_{四邊形OPBN}=S_△OBN+S_△BOP，
=×（4-x）×2+×x×2，
=4（0＜x＜4），
圖2中，S_{四邊形OBNP}=S_△POB+S_△PBN
=×x×2+×（x-4）×x
=x²-x（x＞4），
即以O、P、B、N為頂點的四邊形的面積y與x的函數關系是：．
點評：本題考查了正方形性質，全等三角形的性質和判定，分段函數等知識點的應用，解（1）小題的關鍵是能運用性質進行推理，解（2）的關鍵是求出符合條件的所有情況，本題具有一定的代表性，是一道比較好的題目，注意：證明過程類似．