Question

如圖，已知直線l經過點A(1，0)，與雙曲線y＝

(x＞0)交于點B(2，1)．過點P(p，p－1)(p＞1)作x軸的平

行線分別交雙曲線y＝(x＞0)和y＝－(x＜0)于點M、N．

(1)求m的值和直線l的解析式；

(2)若點P在直線y＝2上，求證：△PMB∽△PNA；

(3)是否存在實數p，使得S_△AMN＝4S_△AMP？若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若

不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：(1)由點B(2，1)在y＝上，有2＝，即m＝2。

          設直線l的解析式為，由點A(1，0)，點B(2，1)在上，得

                     ， ，解之，得

         ∴所求 直線l的解析式為 。

        (2)點P(p，p－1)在直線y＝2上，∴P在直線l上，是直線y＝2和l的交點，見圖（1）。

         ∴根據條件得各點坐標為N（－1，2），M（1，2），P（3，2）。

         ∴NP＝3－（－1）＝4，MP＝3－1＝2，AP＝，

          BP＝ 

         ∴在△PMB和△PNA中，∠MPB＝∠NPA，。

         ∴△PMB∽△PNA。

      (3)S_△AMN＝。下面分情況討論：

        當1＜p＜3時，延長MP交X軸于Q，見圖（2）。設直線MP為則有

         解得 

         則直線MP為

         當y＝0時，x＝，即點Q的坐標為（，0）。       

        則，

        由2＝4有，解之，p＝3（不合，舍去），p＝。

       ‚當p＝3時，見圖（1）S_△AMP＝＝S_△AMN。不合題意。

        ƒ當p>3時，延長PM交X軸于Q，見圖（3）。

        此時，S_△AMP大于情況‚當p＝3時的三角形面積S_△AMN。故不存在實數p，使得S_△AMN＝4S_△AMP。                                      

        綜上，當p＝時，S_△AMN＝4S_△AMP。

解析:略