Question

如圖所示，已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標為（3，0），拋物線的對稱軸x=2交x軸于點E．
（1）求交點A的坐標及拋物線的函數關系式；
（2）在平面直角坐標系xOy中是否存在點P，使點P與A，B，C三點構成一個平行四邊形？若存在，請直接寫出點P坐標；若不存在，請說明理由；
（3）連接CB交拋物線對稱軸于點D，在拋物線上是否存在一點Q，使得直線CQ把四邊形DEOC分成面積比為1：7的兩部分？若存在，請求出點Q坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點B的坐標為（3，0）代入拋物線y=x²+bx+c得到b，c的關系式；又因為拋物線的對稱軸x=2，可求出b的值，進而求出求交點A的坐標及拋物線的函數關系式；
（2）分別以AC，AB為對角線各可求得一點，再以AC，AB為邊求得一點；
（3）此小題要分類討論：當分的圖象左邊部分是三角形，右邊部分是四邊形或當分的圖象左邊部分是四邊形，右邊部分是三角形時分別計算滿足題意的Q值即可．
解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c與x軸交點B（3，0），對稱軸x=2，
∴，
解得：
∴拋物線的函數關系式為y=x²-4x+3，
令y=0，則x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
∴拋物線與x軸另一個交點A的坐標（1，0）；

（2）存在，
滿足條件的點P有3個，分別為（-2，3），（2，3），（4，-3）．

（3）存在，
①當分的圖象左邊部分是三角形，右邊部分是四邊形，
當x=0時，y=x²-4x+3=3，
∴點C的坐標為（0，3），
過點CQ的直線關系式y=-9x+3
∴
解得：，
∴Q（-5，48）；
②當分的圖象左邊部分是四邊形，右邊部分是三角形時，
過點CQ的直線關系式y=-x+3，
∴，
∴，
∴Q（，-），
綜上所述符合條件的Q有兩個坐標分別是（-5，48）；（，-）．
點評：此題考查了二次函數與一次函數，四邊形的綜合知識，解題的關鍵是要注意數形結合思想的應用．此題屬于中考中的壓軸題，難度較大，知識點考查的較多而且聯系密切，需要學生認真審題．