Question

如圖，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，交⊙O于點D，OF⊥AC于點F．
（1）請寫出三條與BC有關的正確結論；
（2）當∠D=30°，BC=1時，求圓中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據垂徑定理和圓周角定理及其推論進行分析，得到結論；
（2）連接OC，陰影部分的面積即是扇形OAC的面積減去三角形AOC的面積．根據圓周角定理發現30°的直角三角形ABC，從而得到扇形所在的圓心角的度數以及半徑的長，再根據扇形的面積公式和三角形的面積公式計算．
解答：解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：
①BC=BD；②OF∥BC；③∠BCD=∠A；④△BCE∽△OAF；⑤BC²=BE•AB；
⑥BC²=CE²+BE²；⑦△ABC是直角三角形；⑧△BCD是等腰三角形．

（2）連接OC，則OC=OA=OB，
∵∠D=30°，=，
∴∠A=∠D=30°，
∴∠COB=2∠A=60°
∴∠AOC=120度，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，BC=1，
∴AB=2，AC=，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF，
∵OA=OB，
∴OF是△ABC的中位線，
∴OF=BC=，
∴S_△AOC=AC•OF=××=，
S_扇形AOC=π×OA²=，
∴S_陰影=S_扇形AOC-S_△AOC=．
點評：要熟練運用垂徑定理、圓周角定理及其推論、等弧對等弦以及30°的直角三角形的性質．