Question

在△ABC中，AB=AC．
（1）如圖，若點P是BC邊上的中點，連接AP．求證：BP•CP=AB²-AP²；

（2）如圖，若點P是BC邊上任意一點，上面（1）的結論還成立嗎？若成立，請證明、若不成立，請說明理由；

（3）如圖，若點P是BC邊延長線上一點，線段AB，AP，BP，CP之間有什么樣的數量關系？畫出圖形，寫出你的結論．（不必證明）

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，P是BC的中點，∴AP⊥BC
∴AB²-AP²=BP²=BP•CP；

（2）如圖所示：
成立，過點A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²①
在Rt△APD中，AP²=AD²+PD²②
①-②得：AB²-AP²=BD²-PD²=（BD+PD）（BD-PD）=PC•BP；

（3）如圖所示：
如右圖，P是BC延長線任一點，連接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²，
在Rt△ADP中，AP²=AD²+DP²，
∴AP²-AB²=（AD²+BD²）-（AD²+DP²）=PD²-BD²，
又∵BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，
∴BP•CP=（BD+DP）（DP-BD）=DP²-BD²，
∴AP²-AB²=BP•CP．
結論：AP²-AB²=BP•CP．
分析：（1）根據勾股定理和等腰三角形的性質，可知BP=CP，AB²-AP²=BP×BP；
（2）成立，過點A作AD⊥BC于D，依然利用勾股定理，借助于平方差公式即可證明；
（3）畫出圖形，利用勾股定理，AP²-AB²=DP²-BD²=2DC•CP+CP²=BC•CP+CP²=BP•CP．
點評：本題主要考查勾股定理的應用，以及等腰三角形性質的掌握．