Question

（2005•徐州）如圖1，已知直線y=2x（即直線l₁）和直線y=-x+4（即直線l₂），l₂與x軸相交于點A．點P從原點O出發，向x軸的正方向作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時點Q從A點出發，向x軸的負方向作勻速運動，速度為每秒2個單位．設運動了t秒．
（1）求這時點P、Q的坐標（用t表示）．
（2）過點P、Q分別作x軸的垂線，與l₁、l₂分別相交于點O₁、O₂（如圖1）．以O₁為圓心、O₁P為半徑的圓與以O₂為圓心、O₂Q為半徑的圓能否相切？若能，求出t值；若不能，說明理由．（同學可在圖2中畫草圖）

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數圖象和直接得出1點P的橫坐標為t，P點的坐標為（t，0），由-x+4=0得x=8，所以點Q的橫坐標為8-2t，點Q的坐標為（8-2t，0）．
（2）將P，Q的橫坐標分別代入其關系式，可求出點O₁，O₂的坐標，分別求出兩圓外切與內切時t滿足的條件，求出t的值，舍去不符合條件的．
解答：解：（1）點P的橫坐標為t，P點的坐標為（t，0），
由-x+4=0得x=8，
所以點Q的橫坐標為8-2t，點Q的坐標為（8-2t，0）．（3分）

（2）由（1）可知點O₁的橫坐標為t，點O₂的橫坐標為8-2t，
將x=t代入y=2x，得y=2t，
所以點O₁的坐標為（t，2t），
將x=8-2t代入y=-x+4，得y=t，
所以點O₂的坐標為（8-2t，t），（5分）
①若這兩圓外切（如圖），連接O₁O₂，過點O₂作O₂N⊥O₁P，垂足為N．
則O₁O₂=2t+t=3t，O₂N=8-2t-t=8-3t，O₁N=2t-t=t，
所以t²+（8-3t）²=（3t）²，（7分）
即t²-48t+64=0，解得t₁=24+16，t₂=24-16．（9分）
②若這兩圓內切，又因為兩圓都x軸相切所以點P、Q重合（如圖）
此時O₁、O₂的橫坐標相同，即8-2t=t，t=，（10分）
（或：設l₂與y軸相交于點M，則=，即=，
所以t=，
所以兩圓能相切，這是t的值分別為24+16，24-16和．
點評：此題很復雜，把動點問題與圓相結合，提高了難度，解答此題的關鍵是根據題意畫出圖形，結合圖形解答．