Question

（1）如圖1，點B、M、C在同一直線上，以BM、BC為一邊，在直線BC的兩側作等邊△ABC和等邊△BMN，直線AM、CN交于點O，則∠AOC=______度（直接寫出答案）；
（2）如圖2，把△BMN繞點B逆時針旋轉任意角度，∠AOC的度數是否變化，驗證你的結論；
（3）如圖3，正方形ABCD和正方形BMNE有公共頂點B，把正方形BMNE繞點B旋轉任意角度，AM、CN交于點O，求∠AOC的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）由△ABC和△BMN是等邊三角形，易證得△ABM≌△CBN，即可得∠BAM=∠BCN，繼而可證得△ABM∽△COM，則可求得∠AOC=∠ABM=60°；
（2）由△ABC和△BMN是等邊三角形，易證得△ABM≌△CBN，即可得∠BAM=∠BCN，繼而可證得△ABM∽△COM，則可求得∠AOC=∠ABM=60°；
（3）由正方形ABCD和正方形BMNE中，∠ABC=∠EBM=90°，AB=BC，BM=BE，易證得△ABM≌△CBE，繼而可得△ABF∽△CFO，則可求得∠AOC的度數．
解答：解：（1）∵△ABC和△BMN是等邊三角形，
∴AB=BC，BM=BN，∠ABC=∠MBN=60°，
∵在△ABM和△CBN中，
，
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴∠BAM=∠BCN，
∵∠AMB=∠CMO，
∴△ABM∽△COM，
∴∠AOC=∠ABM=60°；
故答案為：60；

（2）∠AOC的度數不變，仍為60°．
理由：∵△ABC和△BMN是等邊三角形，
∴AB=BC，BM=BN，∠ABC=∠MBN=60°，
∴∠ABC+∠MBC=∠MBN+∠MBC，
即∠CBN=∠ABM，
∵在△ABM和△CBN中，
，
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴∠BAM=∠BCN，
又∵∠AEB=∠CEO，
∴△AEB∽△CED，
∴∠EOC=∠ABC=60°；

（3）∵正方形ABCD和正方形BMNE中，∠ABC=∠EBM=90°，AB=BC，BM=BE，
∴∠ABC+∠CBM=∠EBM+∠CBM，
即∠ABM=∠CBE，
∵在△ABM和△CBE中，
，
∴△ABM≌△CBE（SAS），
∴∠BAM=∠BCE，
又∵∠AFB=∠CFO，
∴△ABF∽△CFO，
∴∠AOC=∠ABC=90°．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質以及正方形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．