Question

當n=1，2，3，…，2003時，求所有二次函數y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1的圖象與x軸上所截得的線段長度之和．

Answer 1

分析：根據二次函數與x軸兩交點間的距離公式，列出關于n的表達式，將n=1，2，3，…，2003分別代入表達式，求出n等于不同值時兩點間的長度，再計算其和即可．

解答：解：因為△=（2n+1）²-4（n²+n）=4n²+1+4n-4n²-4n=1＞0，
所以無論n為何值，二次函數與x軸均有兩個交點．
二次函數y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1的圖象與x軸上所截得的線段長為|x₁-x₂|=

1

|n2+n|

，
當n=1，n=2，n=3，…，2003時，
二次函數y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1的圖象與x軸上所截得的線段長分別為：

1

2

，

1

6

，

1

12

，

1

20

，

1

30

，

1

42

，…，

1

2003×2004

，
于是所有線段的長度之和為：

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

20

+

1

30

+

1

42

+…+

1

2003×2004

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+

1

5

…+

1

2003

-

1

2004

=1-

1

2004

=

2003

2004

．
故答案為：

2003

2004

．

點評：此題考查了二次函數圖象與x軸交點間的距離公式的應用，此題在計算時要找到數字的變化規律，使計算簡便．
[相關鏈接]二次函數y=ax²+bx+c圖象與x軸交點間的距離公式：|x₁-x₂|=

△

|a|

．