Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C、G是⊙O上兩點，且AC=CG，過點C的直線CD⊥BG于點D，交BA的延長線于點E，連接BC，交OD于點F．

（1）求證：CD是⊙O的切線．
（2）若 ，求∠E的度數．
（3）連接AD，在（2）的條件下，若CD= ，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，連接OC，AC，CG，

∵AC=CG，

∴ ，

∴∠ABC=∠CBG，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∴∠OCB=∠CBG，

∴OC∥BG，

∵CD⊥BG，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線

（2）解：∵OC∥BD，

∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，

∴ ，

∴ ，

∵OA=OB，

∴AE=OA=OB，

∴OC= OE，

∵∠ECO=90°，

∴∠E=30°

（3）解：如圖2，過A作AH⊥DE于H，

∵∠E=30°

∴∠EBD=60°，

∴∠CBD= EBD=30°，

∵CD= ，

∴BD=3，DE=3 ，BE=6，

∴AE= BE=2，

∴AH=1，

∴EH= ，

∴DH=2 ，

在Rt△DAH中，AD= = = ．

【解析】（1）連接OC，AC，CG，由圓周角定理，得出∠ABC=∠CBG，再根據同圓的半徑相等機等量代換求得∠OCB=∠CBG，根據平行線的判定得到OC∥BG，由已知CD⊥BG，得出OC⊥CD，即可證得結論。
（2）由OC∥BD，得出△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得出對應邊成比例，再根據直角三角形的性質，可求出∠E的度數。
（3）過A作AH⊥DE于H，通過解直角三角形求出BD、BE、DE的長，在Rt△DAH中，根據勾股定理求出AD的長。