Question

求滿足2p²+p+8=m²-2m的所有素數p和正整數m．

Answer 1

分析：首先原方程可變形為p（2p+1）=（m-4）（m+2），再根據素數p和正整數m分別列式求解即可．

解答：解：由題設得p（2p+1）=（m-4）（m+2），
由于p是素數，故p是（m-4）的因數，或p是（m+2）的因數．（5分）
（1）若p整除（m-4），令m-4=kp，k是正整數，于是m+2＞kp，3p²＞p（2p+1）=（m-4）（m+2）＞k²p²，故k²＜3，從而k=1，
所以

m-4=p m+2=2p+1

解得

p=5 m=9.

（10分）

（2）若p整除（m+2），令m+2=kp，k是正整數．
當p＞5時，有m-4=kp-6＞kp-p=p（k-1），3p²＞p（2p+1）=（m-4）（m+2）＞k（k-1）p²，
故k（k-1）＜3，從而k=1，或2，
由于p（2p+1）=（m-4）（m+2）是奇數，所以k≠2，從而k=1，
于是

m-4=2p+1 m+2=p

，
這不可能．當p=5時，m²-2m=63，m=9；當p=3，m²-2m=29，無正整數解；
當p=2時，m²-2m=18，無正整數解．
綜上所述，所求素數p=5，正整數m=9．（20分）

點評：解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組，再求解．本題還涉及到數的整除，完全平方公式等知識點，難度比較大．