Question

在邊長為1的正方形ABCD中，以點A為圓心，AB為半徑作圓，E是BC邊上的一個動點（不運動至B，C），過點E作弧BD的切線EF，交CD于F，H是切點，過點E作EG⊥EF，交AB于點G，連接AE．
（1）求證：△AGE是等腰三角形；
（2）設BE=x，△BGE與△CEF的面積比，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在BC邊上（點B、C除外）是否存在一點E，使得GE=EF，若存在，求出此時BE的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖連AH，根據切線的性質可以得到AH⊥EF，而GE⊥EF，由此得到GE∥AH，所以∠GEA=∠EAH，又根據已知條件可以證明△AHE≌△ABE，由此得到∠BAE=∠EAH，進一步得到∠BAE=∠GEA，從而證明AE=EG，即△AGE是等腰三角形；
（2）設EH=EB=x，可以用x分別表示EC，CF=1-FD，根據切線長定理知道FD=FH，由此得到EF=EH+HF=x+FD，而在Rt△ECF中，EF²=EC²+CF²，可以得到（1-x）²+（1-FD）²=（x+FD）²，由此可以把DF也用x表示，又根據已知條件容易證明△GEB∽△EFC，根據相似三角形的性質得到，而，這樣就求出y關于x的函數關系式；
（3）假設BC上存在一點E，能使GE=EF，則，根據（2）可以得到，解此方程求出x，然后結合已知條件就可以判斷E點是否存在．
解答：解：（1）連AH，
∵AH⊥EF，GE⊥EF，
∴GE∥AH，
∴∠GEA=∠EAH，
∵AH=AB，AE=AE，∠ABE=∠AHB，
∴△AHE≌△ABE，
∴∠BAE=∠EAH，
∴∠BAE=∠GEA，
∴AG=EG，即△AGE是等腰三角形．

（2）∵EH=EB=x，
∴EC=1-x，CF=1-FD，
∵FD=FH，
∴EF=EH+HF=x+FD，
在Rt△ECF中，EF²=EC²+CF²，
∴（1-x）²+（1-FD）²=（x+FD）²，整理得，（1+x）FD=1-x，
∴，
∵∠B=∠C，
又GE⊥EF，
∴∠GEB=∠FEC，
∴△GEB∽△EFC，
∴，
∴，
∴（0＜x＜1）．

（3）假設BC上存在一點E，能使GE=EF，
則，
∴，解得x=0或x=1，經檢驗x=0或x=1是原方程的解但動點E不能與B，C點重合，
故x≠0且x≠1，
∴BC邊上符合條件的E點不存在．
點評：此題把圓的知識放在正方形的背景中，然后把等腰三角形，相似三角形，求函數關系式及自變量與函數值等知識結合起來，綜合性很強，學生要有比較好的解決問題的能力．