Question

（1）已知，如圖1，△ABC的周長為l，面積為S，其內切圓圓心為0，半徑為r，求證：r=

2S

l

；
（2）已知，如圖2，△ABC中，A、B、C三點的坐標分別為A（-3，O）、B（3，0）、C（0，4）．若△ABC內心為D．求點D坐標；
（3）與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓，叫旁切圓，圓心叫旁心．請求出條件（2）中的△ABC位于第一象限的旁心的坐標．

Answer 1

分析：（1）連接0A、OB、OC，設ABC的三邊分別為a、b、c，根據：S=S_△OAC+S_△OBC+S_△OAB即可證得；
（2）首先求得內切圓的半徑，即可確定D的坐標；
（3）設∠B和∠C的外角平分線交于點P，則點P為旁心，過點P分別為作PE⊥x軸于E，PF⊥CB于F，則PF=PE=OC=4，在Rt△PFC中，利用三角函數即可求解．

解答：證明：連接0A、OB、OC，設AB、CA，BC的三邊分別為a、b、c，


則：S=S_△OAC+S_△OBC+S_△OAB（1分）
=

1

2

br+

1

2

ar+

1

2

cr
=

1

2

(a+b+c)r=

1

2

lr
∴r=

2S

l

（3分）

（2）∵A（-3，O），B（3，O），C（0，4）
∴AB=6，AC=BC=5（4分）l=AB+AC+BC=16，S=

1

2

AB•OC=12（5分）
由條件（1）得：r=

2S

l

=

2×12

16

=

3

2

，得D(0，

3

2

)（6分）

（3）方法一：設∠B和∠C的外角平分線交于點P，則點P為旁心（7分）
∵∠MCB=2∠PCB=2∠CBA
∴∠PCB=∠CBA
∴CP∥AB（8分）
過點P分別為作PE⊥x軸于E，PF⊥CB于F，則PF=PE=OC=4（10分）
在Rt△PFC中，PC=

PF

sin∠PCF

=

PF

sin∠CBO

=

4

4 5

=5
∴P（5，4）（12分）
方法二：過點B作∠B的外角平分線交AD的延長線于點P，則點P為旁心，（7分）
過點P作PE⊥x軸于E，連接BD，令P（a，b）
由∠1=∠2，∠3=∠4得：
∠1+∠4=∠2+∠3=90°
∴Rt△DOB∽Rt△BEP，∴

b

a-3

=

3

3 2

化簡得：b=2a-6（1）（9分）
由Rt△AOD∽Rt△AEP得：

3

a+3

=

3 2

b

化簡得：2b=a+3（2）（11分）
聯立（1）、（2）解得a=5，b=4，∴P（5，4）

點評：本題主要考查了三角形的內心與外接圓，解這類題一般都利用過內心向正三角形的一邊作垂線，則正三角形的半徑、內切圓半徑和正三角形邊長的一半構成一個直角三角形，解這個直角三角形，可求出相關的邊長或角的度數．