Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（0，6），點B是x軸正半軸上的一個動點，連接AB，取AB的中點M，將線段MB繞著點B按順時針方向旋轉90°，得到線段BC．過點B作x軸的垂線交直線AC于點D．設點B坐標是（t，0）．
（1）當t=4時，求直線AB的解析式；
（2）用含t的代數式表示點C的坐標及△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）當t=4時，B（4，0），設直線AB的解析式為y=kx+b．把A（0，6），B（4，0）代入解析式即可求出未知數的值，從而求出其解析式；
（2）過點C作CE⊥x軸于點E，由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC．根據相似三角形的對應邊的比相等，即可利用t表示得到BE、CE的長度，C的坐標，然后根據S_△ABC=S_梯形AOEC-S_△AOB-S_△BEC得到函數的解析式．
解答：解：（1）當t=4時，B（4，0），
設直線AB的解析式為y=kx+b．
把A（0，6），B（4，0）代入得：，
解得：，
則直線AB的解析式是：y=-x+6；

（2）過C作CE⊥x軸于點E．
∵∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，
∴△AOB∽△BEC，
∴===，
∴BE=AO=3，CE=OB=，
∴點C的坐標是（t+3，）．
S_梯形AOEC=OE•（AO+EC）=（t+3）（6+）=t²+t+9，
S_△AOB=AO•OB=×6•t=3t，
S_△BEC=BE•CE=×3×=t，
∴S_△ABC=S_梯形AOEC-S_△AOB-S_△BEC
=t²+t+9-3t-t
=t²+9．
點評：本題考查了待定系數法求函數的解析式，相似三角形的判定與性質，正確求得△ABC的面積是關鍵．