Question

如圖，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點（不與A，C重合），延長BD至E．
（1）求證：AD的延長線平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，且△ABC底邊BC邊上高為1，求△ABC外接圓的周長．

Answer 1

（1）證明：如圖，設F為AD延長線上一點，
∵A，B，C，D四點共圓，
∴∠CDF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠CDF，
∵∠ADB=∠EDF（對頂角相等），
∴∠EDF=∠CDF，
即AD的延長線平分∠CDE．


（2）解：設O為外接圓圓心，連接AO比延長交BC于H，連接OC，
∵AB=AC，
∴=，
∴AH⊥BC，
∴∠OAC=∠OAB=∠BAC=×30°=15°，
∴∠COH=2∠OAC=30°，
設圓半徑為r，
則OH=OC•cos30°=r，
∵△ABC中BC邊上的高為1，
∴AH=OA+OH=r+r=1，
解得：r=2（2-），
∴△ABC的外接圓的面積為：4π（2-）．
分析：（1）要證明AD的延長線平分∠CDE，即證明∠EDF=∠CDF，轉化為證明∠ADB=∠CDF，再根據A，B，C，D四點共圓的性質，和等腰三角形角之間的關系即可得到．
（2）求△ABC外接圓的面積，只需解出圓半徑，故作等腰三角形底邊上的垂直平分線即過圓心，再連接OC，根據角之間的關系在三角形內即可求得圓半徑，可得到外接圓面積．
點評：此題主要考查圓內接多邊形的性質、圓周角定理、等腰三角形的性質以及三角形的外接圓的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．