Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，點P在線段AB上運動，設AP=x，現將紙片折疊，使點D與點P重合，得折痕EF（點E、F為折痕與矩形邊的交點），再將紙片還原．
（1）當x=0時，折痕EF的長為

 

；當點E與點A重合時，折痕EF的長為

 

；
（2）試探索使四邊形EPFD為菱形時x的取值范圍，并求當x=2時，菱形EPFD的邊長．提示：用草稿紙折折看，或許對你有所幫助！

Answer 1

分析：（1）當x=0時，折痕EF的長正好等于矩形的長為3，當點E與點A重合時，畫出符合要求的圖形，得出∠DEF=∠FEP=45°，利用勾股定理得出答案．
（2）結合EF的長度得出x的取值范圍，當x=2時，設PE=m，則AE=2-m，利用勾股定理得出答案．

解答：解：（1）∵紙片折疊，使點D與點P重合，得折痕EF，
當AP=x=0時，點D與點P重合，即為A，D重合，B，C重合，那么EF=AB=CD=3；
當點E與點A重合時，
∵點D與點P重合是已知條件，
∴∠DEF=∠FEP=45°，
∴∠DFE=45°，
即：ED=DF=1，
利用勾股定理得出EF=

2

∴折痕EF的長為

2

；
故答案為：3，

2

；

（2）∵要使四邊形EPFD為菱形，
∴DE=EP=FP=DF，
只有點E與點A重合時，EF最長為

2

，此時x=1，
當EF最短時，即EF=BC，此時x=3，
∴探索出1≤x≤3
當x=2時，如圖，連接DE、PF．
∵EF是折痕，
∴DE=PE，設PE=m，則AE=2-m
∵在△ADE中，∠DAE=90°，
∴AD²+AE²=DE²，即1²+（2-m）²=m²
解得m=

5

4

，此時菱形EPFD的邊長為

5

4

．

點評：此題主要考查了折疊前后對應關系和勾股定理的應用，根據已知條件得出對應線段與對應角之間的關系是解決問題的關鍵．