Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，點F是AD的中點，△AEF是等腰直角三角形，∠AEF=90°，連接BE，DE，AC．
（1）求證：△EAB≌△EFD；
（2）求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）有等腰直角三角形的性質可得：EA=FE，∠EAF=∠EFA=45，再由已知條件證明△EAB≌△EFD即可；
（2）連接BD，有旋轉的性質可得EB=ED，且∠BED=90°，再有矩形的性質即可求出的比值．
解答：（1）證明：∵△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF=∠EFA=45°，EA=EF，
又∵∠BAD=90°，∠EFD+∠EFA=180°，
∴∠EAB=∠EFD=135°，
又∵AD=2AB，FD=AD，
∴AB=FD，
∴△EAB≌△EFD；

（2）解：如圖，連接BD．
∵∠AEF=90°，
∴△EFD可由△EAB繞點E逆時針旋轉90°得到，
∴EB=ED，且∠BED=90°．
∴△BED也是等腰直角三角形．
∴BD=，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD．
∴=．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定以及旋轉的性質和矩形的性質：對角線相等，題目的綜合性不小．