Question

【題目】下面是“作一個30°角”的尺規作圖過程．

已知：平面內一點A．

求作：∠A，使得∠A30°．

作法：如圖，

（1）作射線AB；

（2）在射線AB上取一點O，以O為圓心，OA為半徑作圓，與射線AB相交于點C；

（3）以C為圓心，OC為半徑作弧，與⊙O交于點D，作射線AD．

∠DAB即為所求的角．

請回答：該尺規作圖的依據是 ．

Answer 1

【答案】三條邊相等的三角形是等邊三角形，等邊三角形的三個內角都是60°，一條弧所對的圓周角是它所對圓心角的一半；

或：直徑所對的圓周角為直角，三條邊相等的三角形是等邊三角形，等邊三角形的三個內角都是60°，直角三角形兩個銳角互余；

或：直徑所對的圓周角為直角， ， 為銳角， .

【解析】如圖，連接OD、DC，根據題目的作圖方法，可由以下三種方法說明所作∠A=30°：

（1）由作法可知，OA=OD=OC=DC，

∴△ODC是等邊三角形，∠A=∠ADO，

∴∠DOC=60°，

又∵∠A是⊙O中所對的圓周角，∠DOC是⊙O中所對的圓心角，

∴∠A=∠DOC=30°；

（2）由作法可知，OD=OC=DC，AC是⊙O的直徑，

∴△ODC是等邊三角形，∠ADC=90°，

∴∠DCA=60°，

∴∠A=180°-90°-60°=30°；

（3）由作法可知，OA=OC=DC=⊙O的半徑，AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∴sinA=,

∴銳角∠A=30°.

綜上所述：本題答案為：三條邊相等的三角形是等邊三角形，等邊三角形的三個內角都是60°，一條弧所對的圓周角是它所對圓心角的一半；

或：直徑所對的圓周角為直角，三條邊相等的三角形是等邊三角形，等邊三角形的三個內角都是60°，直角三角形兩個銳角互余；

或：直徑所對的圓周角為直角， ， 為銳角， .