Question

（2003•岳陽）如圖，點M（，0）為Rt△OED斜邊上的中點，O為坐標原點，∠ODE=90°，過D作AB⊥DM交x軸的正半軸于A點，交y軸的正半軸于B點，且sin∠OAB=
（1）求：過E、D、O三點的二次函數解析式．
（2）問此拋物線頂點C是否在直線AB上，請予以證明；若頂點不在AB上，請說明理由．
（3）試在y軸上作出點P，使PC+PE為最小，并求出P點的坐標（不寫作法和證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）作DH⊥x軸于H，根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”和sin∠OAB=，求出D點坐標和E點坐標，又知拋物線過點O，可設出二次函數一般式解答；
（2）求出拋物線頂點C的坐標和直線解析式，將頂點C代入直線解析式看是否成立；
（3）作出E點關于y軸的對稱點E′，連接CE'與y軸交點即為點P，根據兩點之間線段最短，存在點P使PC+PE’最小，根據軸對稱的性質PC+PE最小．
解答：解：作DH⊥x軸于H．
（1）∵點M（，0）為Rt△OED斜邊上的中點，根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得OM=ME=DM=，
∴OE=×2=3，
得E（3，0）．
∵AB⊥DM，sin∠OAB=，
∴在Rt△ADM中，AM===．
根據勾股定理，AD=2，于是在Rt△DHA中，HD=2×sin∠OAB=2×=，
根據勾股定理，AH==，OH=4-=．
于是D點坐標為（，）．
∵拋物線過E（3，0）、D（，）、O（0，0）三點，
∴設解析式為y=ax²+bx．
將各點代入解析式得：，
解得a=-，b=，
解析式為y=-x²+x．

（2）∵DA=2，DM=，
∴根據勾股定理得，AM==，MO=，
∴AO=+==4，
∴得A（4，0）．因為直線過A（4，0）、D（，）兩點，
設解析式為y=kx+b，
將A（4，0）、D（，）代入得，
解得，
直線解析式為y=-x+3．
由（1）知拋物線解析式為y=-x²+x，
頂點坐標為x=-=，y==，
即C（，），
代入直線AB的解析式得，-×（）+3=，故頂點在AB上；

（3）作出E點關于y軸的對稱點E′，
則E‘點坐標為（-3，0），直線CE′的解析式為y=kx+b，
將C（，）、E‘（-3，0）代入解析式
得，，
解得，
解析式為y=x+，
當x=0時，y=，
即P點坐標為（0，）．
點評：此題將直角三角形的性質和直線、拋物線相結合，巧妙利用了坐標和線段長度之間的關系，求出所需坐標，利用待定系數法求出函數解析式，利用解析式，其它問題便可迎刃而解．