Question

如圖，點D雙曲線上，AD垂直x軸，垂足為A，點C在AD上，CB平行于x軸交曲線于點B，直線AB與y軸交于點F，已知AC：AD=1：3，點C的坐標為（2，2）．
（1）求該雙曲線的解析式；
（2）求△OFA的面積．

Answer 1

分析：（1）由點C的坐標為（2，2）得AC=2，而AC：AD=1：3，得到AD=6，則D點坐標為（2，6），然后利用待定系數法確定雙曲線的解析式；
（2）已知A（2，0）和B（6，2），利用待定系數法確定直線AB的解析式，得到F點的坐標，然后利用三角形的面積公式計算即可．

解答：解：（1）∵點C的坐標為（2，2），AD垂直x軸，
∴AC=2，
又∵AC：AD=1：3，
∴AD=6，
∴D點坐標為（2，6），
設雙曲線的解析式為y=

k

x

，
把D（2，6）代入y=

k

x

得，k=2×6=12，
所以雙曲線解析式為y=

12

x

；

（2）設直線AB的解析式為y=kx+b，
∵CB平行于x軸交曲線于點B，
∵雙曲線的解析式為y=

12

x

，
∴B（6，2）
∴把A（2，0）和B（6，2）代入y=kx+b得，2k+b=0，6k+b=2，解得k=

1

2

，b=-1，
∴線AB的解析式為y=

1

2

x-1，
令x=0，得y=-1，
∴F點的坐標為（0，-1），
∴S_△OFA=

1

2

×OA×OF=

1

2

×2×1=1．

點評：本題考查了利用待定系數法確定反比例函數和一次函數解析式的方法：把求解析式的問題轉化為解方程或方程組．也考查了坐標與線段之間的關系以及三角形面積公式．