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【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A,B,C三點,點A的橫坐標(biāo)為﹣1,過點C(0,3)的直線y=﹣x+3x軸交于點Q,點P是線段BC上的一個動點,PHOB于點H.若PB=5t,且0<t<1.

(1)確定b,c的值;

(2)寫出點B,Q,P的坐標(biāo)(其中Q,P用含t的式子表示);

(3)依點P的變化,是否存在t的值,使△PQB為等腰三角形?若存在,求出所有t的值;若不存在,說明理由.

【答案】(1)b=,c=3;

(2)B4,0,P4﹣4t,3t,Q4t,0;

(3)當(dāng)t=,△PQB為等腰三角形.

【解析】

試題(1)將AC的坐標(biāo)代入拋物線中即可求得待定系數(shù)的值.

2)根據(jù)拋物線的解析式可求得B點的坐標(biāo),即可求出OB,BC的長,在直角三角形BPH,可根據(jù)BP的長和∠CBO三角函數(shù)求出PH,BH的長,進(jìn)而可求出OH的長,也就求出了P點的坐標(biāo).Q點的坐標(biāo),可直接由直線CQ的解析式求得.

3)本題要分情況討論:

①PQ=PB,此時BH=QH=BQ,在(2)中已經(jīng)求得了BH的長,BQ的長可根據(jù)BQ點的坐標(biāo)求得,據(jù)此可求出t的值.

②PB=BQ,那么BQ=BP=5t,由此可求出t的值.

③PQ=BQ,已經(jīng)求得了BH的長,可表示出QH的長,然后在直角三角形PQH,BQ的表達(dá)式表示出PQ,即可用勾股定理求出t的值.

試題解析:(1)已知拋物線過A﹣1,0)、C0,3,則有:

,

解得,

因此b=,c=3;

2)令拋物線的解析式中y=0,則有x2+x+3=0,

解得x=﹣1,x=4;

∴B4,0,OB=4,

因此BC=5,

在直角三角形OBC,OB=4,OC=3,BC=5,

∴sin∠CBO=,cos∠CBO=,

在直角三角形BHP,BP=5t,

因此PH=3t,BH=4t;

∴OH=OB﹣BH=4﹣4t,

因此P4﹣4t,3t).

令直線的解析式中y=0,則有0=﹣x+3,x=4t,

∴Q4t,0;

3)存在t的值,有以下三種情況

如圖1,當(dāng)PQ=PB,

∵PH⊥OB,QH=HB,

∴4﹣4t﹣4t=4t,

∴t=,

當(dāng)PB=QB4﹣4t=5t,

∴t=,

當(dāng)PQ=QB,Rt△PHQ中有QH2+PH2=PQ2,

8t﹣42+3t2=4﹣4t2,

∴57t2﹣32t=0,

∴t=,t=0(舍去),

∵0t1,

當(dāng)t=,△PQB為等腰三角形.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某市為了處理污水需要鋪設(shè)一條長為2000米的管道,實際施工時,×××××××,設(shè)原計劃每天鋪設(shè)管道米,則可列方程,根據(jù)此情景,題目中的“×××××××”表示所丟失的條件,這一條件為(

A.每天比原計劃多鋪設(shè)10米,結(jié)果延期10天完成任務(wù)

B.每天比原計劃少鋪設(shè)10米,結(jié)果延期10天完成任務(wù)

C.每天比原計劃少鋪設(shè)10米,結(jié)果提前10天完成任務(wù)

D.每天比原計劃多鋪設(shè)10米,結(jié)果提前10天完成任務(wù)

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【題目】如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,,AC為直徑,DEBC,垂足為E.

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(2)若AC=9,CE=3,求CD的長.

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【題目】閱讀下列材料,解決問題:

學(xué)習(xí)了勾股定理后我們知道:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.根據(jù)勾股定理我們定義:如圖①,點MN是線段AB上兩點,如果線段AMMNNB能構(gòu)成直角三角形,則稱點MN是線段AB的勾股點

解決問題

1)在圖①中,如果AM2MN3,則NB   

2)如圖②,已知點C是線段AB上一定點(ACBC),在線段AB上求作一點D,使得CD是線段AB的勾股點.李玉同學(xué)是這樣做的:過點C作直線GHAB,在GH上截取CEAC,連接BE,作BE的垂直平分線交AB于點D,則CD是線段AB的勾股點你認(rèn)為李玉同學(xué)的做法對嗎?請說明理由

3)如圖③,DE是△ABC的中位線,MNAB邊的勾股點(AMMNNB),連接CMCN分別交DE于點GH求證:GH是線段DE的勾股點.

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【題目】不透明布袋內(nèi)裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的4個小球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4.

(1)從布袋中隨機(jī)地取出一個小球,求小球上所標(biāo)的數(shù)字不為2的概率;

(2)從布袋中隨機(jī)地取出一個小球,記錄小球上所標(biāo)的數(shù)字為x,不將取出的小球放回布袋,再隨機(jī)地取出一個小球,記錄小球上所標(biāo)的數(shù)字為y,這樣就確定點E的一個坐標(biāo)為(x,y),求點E落在直線y=x+1上的概率.

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【題目】1)問題背景:如圖1,在四邊形ABCD中,ABAD,∠BAD120°,∠B=∠ADC90°EF分別是BCCD上的點,且∠EAF60°,請?zhí)骄繄D中線段BEEFFD之間的數(shù)量關(guān)系是什么?

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2)拓展應(yīng)用:

如圖2,在四邊形ABCD中,ABAD,∠B+D180°EF分別是BCCD上的點,且∠EAFBAD.問(1)中的線段BEEFFD之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.

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【題目】某專賣店經(jīng)市場調(diào)查得知,一種商品的月銷售量 Q(單位:噸)與銷售價格 x(單位:萬元/)的關(guān)系可用下圖中的折線表示.

(1)寫出月銷售量 Q 關(guān)于銷售價格 x 的關(guān)系;

(2)如果該商品的進(jìn)價為 5 萬元/噸,除去進(jìn)貨成本外,專賣店銷售該商品每月的固定成本為 10 萬元,問該商品 每噸定價多少萬元時,銷售該商品的月利潤最大?并求月利潤的最大值.

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(2)若AD=3,C=60°,點E是半圓AB的中點,則線段AE的長為   

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同步練習(xí)冊答案
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