Question

已知點A在數軸上對應的數為a，點B對應的數為b，且|a+4|+（b-1）²=0，A、B之間的距離記作|AB|，定義：|AB|=|a-b|．
（1）求線段AB的長|AB|；
（2）設點P在數軸上對應的數為x，當|PA|-|PB|=2時，求x的值；
（3）若點P在A的左側，M、N分別是PA、PB的中點，當P在A的左側移動時，下列兩個結論：
①|PM|+|PN|的值不變；②|PN|-|PM|的值不變，其中只有一個結論正確，請判斷出正確結論，并求其值．

Answer 1

分析：（1）根據非負數的和為0，各項都為0；
（2）應考慮到A、B、P三點之間的位置關系的多種可能解題；
（3）利用中點性質轉化線段之間的倍分關系得出．

解答：解：（1）∵|a+4|+（b-1）²=0，
∴a=-4，b=1，
∴|AB|=|a-b|=5；
（2）當P在點A左側時，
|PA|-|PB|=-（|PB|-|PA|）=-|AB|=-5≠2．
當P在點B右側時，
|PA|-|PB|=|AB|=5≠2．
∴上述兩種情況的點P不存在．
當P在A、B之間時，|PA|=|x-（-4）|=x+4，|PB|=|x-1|=1-x，
∵|PA|-|PB|=2，∴x+4-（1-x）=2．
∴x=-

1

2

，即x的值為-

1

2

；
（3）|PN|-|PM|的值不變，值為

5

2

．
∵|PN|-|PM|=

1

2

|PB|-

1

2

|PA|=

1

2

（|PB|-|PA|）=

1

2

|AB|=

5

2

，
∴|PN|-|PM|=

5

2

．

點評：本題滲透了分類討論的思想，體現了思維的嚴密性，在今后解決類似的問題時，要防止漏解．
利用中點性質轉化線段之間的倍分關系是解題的關鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數量關系也是十分關鍵的一點．