Question

已知：如圖，兩個以O為圓心的同心圓，AB是大圓的直徑，弦BC切小圓于點D，CE⊥AB，垂足為E，大圓的直徑為25，小圓的直徑為15米．求AE的長．

Answer 1

解：連接OD、AC，
∵BC切小圓于點D
∴OD⊥BC
又∵OB=12.5，OD=7.5
∴BD==10
因此根據垂徑定理知BC=20
在RT△ABC中，AC===15
又∵AB為圓的直徑，且CE⊥AB，
∴∠ACB=∠CEB=90°，又∠ABC=∠CBE，
∴△ACE∽△ABC
∴
即
∴AE=9．
分析：要求AE的長，需作輔助線，連接OD和AC，根據題意利用勾股定理，在三角形ODB中，可求出BD，進而得到BC，同理在三角形ACB中，可求出AC，然后利用△ACE∽△ABC，通過比例線段，求出AE的長．
點評：此題考查了相似的判定以及垂徑定理、勾股定理的應用，難易適中．